Scarica Matematica generale (Insiemi, Vettori, Matrici) e più Appunti in PDF di Matematica Per L'economia solo su Docsity! MATEMATICA GENERALE PROPOSIZIONI In matematica, le proposizioni possono essere o vere o false: ”il triangolo T è equilatero” è una proposizione che è vera se T ha i tre lati uguali e falsa se ciò non accade; “T è un sacco equilatero” non potrebbe significare niente di diverso da “T è equilatero”. Spesso, però, in matematica determinate affermazioni sono fatte non tramite proposizioni, ma esclusivamente con simboli matematici: “6=2*3” e “6<2*4”. OPERAZIONI LOGICHE “p” e “q” sono due proposizioni equivalenti e si pone “p=q” se sono o entrambe vere o entrambe false: ad esempio, se p=”il triangolo T ha i tre lati uguali” e q=” il triangolo T ha i tre angoli uguali” allora è “p=q” perché se il triangolo ha i tre lati uguali ha anche i tre angoli uguali. SOMMA LOGICA Nell’ambito della logica matematica si indica in genere con “p ν q” (“p o q”), la somma logica delle due proposizioni “p” e “q”, cioè la proposizione che è vera se è vera solo “p” o solo “q” o tutte e due, mentre è falsa se entrambe sono false. Esempio. Date le due proposizioni p=”x è residente a Roma” e q=”x è residente nella regione Lazio”, la proposizione “p ν q” è vera ad esempio se “x” risiede a Roma oppure a Latina, mentre è falsa se “x” risiede a Milano. PRODOTTO LOGICO Si indica con “p Λ q” (“p e q”), il prodotto logico delle due proposizioni, cioè la proposizione che è vera se “p” e “q” sono entrambe vere, falsa se lo è almeno una delle due. Allora, riferendosi all’Esempio, la proposizione “p Λ q” è vera se “x” risiede a Roma, ma è falsa se “x” vive a Latina o Milano. IMPLICAZIONE LOGICA Date due proposizioni “p” e “q” la proposizione “p implica q” che si indica con la notazione “p→q” significa che se “p” è vera allora è vera anche "q"; se, invece, “p” è falsa non si dice nulla su “q”, che può essere sia vera che falsa.. La notazione “p→q”, oltre che “p implica q” può essere letta anche in questi quattro modi: - “q” è vera se “p” è vera; - “p” è condizione sufficiente per “q”; - “p” è vera solo se “q” è vera; - “q” è condizione necessaria per “p”. Esempio. Se p=”x è una mucca” e q=”x è un mammifero”, “p→q” perché se “p” è vera, allora anche “q” è vera; se invece “p” è falsa (“x” non è una mucca) allora “q” potrebbe essere sia vera (“x” è una scimmia) che falsa (“x” è un panino col formaggio). Quindi, “p” è una condizione sufficiente per “q”, ma non necessaria. Oppure possiamo dire che “q” è una condizione necessaria per “p”, ma non sufficiente. Se le due implicazioni “p→q” e “q→p” valgono simultaneamente, allora le due proposizioni sono sempre vere o sempre false, quindi “p=q” (“p↔q”), che si legge come: - “p” e “q” sono equivalenti; - “p” è vera se e solo se è vera “q”; - “p” è una condizione necessaria e sufficiente per “q”. INSIEMI DEFINIZIONI E NOTAZIONI Per insieme si intende una qualsiasi collezione di oggetti: l’insieme delle rette di un piano, l’insieme dei bottoni di una giacca, ecc. Un insieme è formato da tanti elementi, che possono essere in numero finito o infinito. Dati due insiemi “A” e “B” si dice che “A” è un sottoinsieme di “B” e si scrive “A B” se ciascun elemento di “A” appartiene anche a “B”. Se, invece, “A” contiene alcuni elementi di “B” ed, inoltre, “A” è diverso dall’insieme nullo, diremo che “A” è sottoinsieme proprio di “B” e scriveremo: “A B”. OPERAZIONI CON GLI INSIEMI Se “A” e “B” sono due insiemi si chiama: - Unione di “A” e “B”, e si indica con “A U B”, l’insieme degli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insieme; - Intersezione “A ∩ B” di “A” e “B”, l’insieme degli elementi che appartengono ad entrambi gli insiemi; - Differenza “A - B”, l’insieme degli elementi di “A” che non appartengono anche a “B”; - Prodotto cartesiano (o diretto) “A x B”, l’insieme di tutte le coppie ordinate “(a,b)” con “a є A” e “b є B”. I DIVERSI INSIEMI DI NUMERI Abbiamo diversi insiemi di numeri: - “N”, che sono numeri naturali (0,1,2,3,…); - “Z”, che sono numeri interi (…,-2,-1,0,1,2,...); - “Q”, che sono numeri irrazionali, costituiti dalle frazioni “m/n” con “m” e “n” interi qualsiasi ma con “n” diverso da “0” (1/2,1/3,1/5,…); - “R”, che sono numeri reali, costituiti sia dai razionali che dagli irrazionali (0,347; 2,456665; 1,54). RETTA REALE Risulta conveniente rappresentare i numeri reali mediante due punti di una retta orientata (0 e 1). Il segmento individuato dai due punti fissa sulla retta una scala. Si possono cosi riportare su di essa tutti i numeri reali. Verso positivo R 0 1 m/n Rappresentando, su questa retta, tutti i numeri reali, si esauriscono i punti della retta, cioè si ha corrispondenza biunivoca tra i punti della retta (che chiamiamo reale) e l’insieme dei numeri reali. I RAZIONALI E GLI IRRAZIONALI SONO DENSI SULLA RETTA Dati due punti irrazionali “m/n” e “p/q”, tra di essi sono sempre contenuti infiniti altri irrazionali, cioè è impossibile definire il consecutivo di un numero irrazionale come si fa con i numeri interi. Infatti dati i due numeri irrazionali il punto “(m/n+p/q)/2” è contenuto tra i due irrazionali, ma oltre a questo ce ne sono altri infiniti. VETTORI E SISTEMI LINEARI VETTORI In numerose applicazioni conviene considerare le n-uple ordinate di numeri reali come vettori con i quali fare poi determinate operazioni. SPAZI VETTORIALI Si chiama vettore ad “n” componenti una qualsiasi n-upla ordinata di numeri reali che indichiamo con: “a=(a1, a2, a3,…., an)” n-upla (ennupla). Si chiama vettore nullo il vettore “a+(-a)=(0, 0,…..,0)” che ha per componenti tutti zero. Con i vettori si possono fare due operazioni: - somma di due vettori: a=(a1, a2, a3,…., an) a=(-3, 5, 0) b=(b1, b2, b3,…., bn) b=(1, -2, 1) c=a+b=(a1+b1, a2+b1, ….., an+bn) c=a+b=(-2, 3, 1) - prodotto di un numero reale (detto anche scalare) con un vettore: c a=(c a1, c a2,….., c an) a=(-3, 5, 3) -1 a=(3, -5, -3) opposto del vettore “a” -3 a=(9, -15, -9). La somma di due vettori si ottiene con la regola del parallelogramma. Se però i due vettori hanno la stessa direzione, il parallelogramma degenera in una retta. Si chiama spazio vettoriale ad “n” dimensioni (“Sn“), l’insieme dei vettori ad “n” componenti sul quale siano definite le due operazioni di somma di due vettori e di prodotto di uno scalare per un vettore. RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA DEI VETTORI SPAZIO AD UNA DIMENSIONE 2 a a=(+5) a 2 a=(+10) S1 0 5 10 SPAZIO A DUE DIMENSIONE c=a+b 5 a a=(1, 5) 1 b b=(5, 1) S2 1 5 6 c=a+b=(6, 6) SPAZIO A TRE DIMENSIONE z S3 y x SPAZIO AD “n” DIMENSIONI Sn a1, a2,…., am “m” vettori c1, c2,…., cm “m” scalari Combinazione lineare dei “m” vettori con i “m” scalari: b=c1 a1+c2 a2+….+cm am. DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE Dati “m” vettori “a1, a2,…., am“ di “Sn” e “m” scalari “c1, c2,…., cm“ l’operazione: “c1 a1+c2 a2+….+cm am=b” si chiama combinazione lineare degli “m” vettori con coefficienti gli “m” scalari. Il vettore di Sn “b= c1 a1+c2 a2+….+cm am“ si dice che è linearmente dipendente dai vettori “a1,a2,…., am“. Quindi, dire che un vettore è linearmente dipendente da altri significa che esso è esprimibile come combinazione lineare di tali vettori, mentre è linearmente indipendente se è impossibile esprimerlo. Esempio. S2 a1=(1, -3) a2=(0, 1) a3=(-1, 1) b=(1,-5) c1=1 c2= -2 c3=0 c1 a1+c2 a2+c3 a3=b; (1, -3)+(0, -2)+(0, 0)=(1, -5); ecc. Dato un insieme di “p” vettori “a1, a2,…., ap“ di “Sn” si dice poi che gli “p” vettori sono linearmente dipendenti tra loro se almeno uno di essi è linearmente dipendente dai rimanenti e, quindi, se c’è almeno uno dei coefficienti diverso da zero, che ha come risultato il vettore nullo, cioè: “c1 a1+c2 a2+….+cp ap=0“. con “a1, a2,…., am“ non tutti nulli. Invece, si dice che gli “p” vettori sono linearmente indipendenti se l’unico modo per ottenere, con una loro combinazione lineare, il vettore nullo è quello di prendere tutti i coefficienti uguali a zero. DIPENDENZA LINEARE E DIMENSIONE DELLO SPAZIO Il teorema fondamentale dice che in uno spazio “Sn“ è sempre possibile trovare “n” vettori linearmente indipendenti, mentre “n+1” vettori sono sempre linearmente dipendenti. Un’importante conseguenza di questo teorema è che: - due vettori sono linearmente dipendenti se e solo se esiste una retta che li contiene entrambi; - tre vettori sono linearmente dipendenti se e solo se esiste un piano che li contiene tutti e tre; - in generale “m” vettori sono linearmente dipendenti se e solo se esiste un sottospazio di dimensione inferiore ad “m” che li contiene tutti e “m”. 1 3 2 RANGO DI UN INSIEME DI VETTORI Dato un insieme di vettori { a1, a2,…., am } di “Sn“ il suo rango è, per definizione, il massimo numero di vettori tra loro linearmente indipendenti presenti in tale insieme: 0<=r<=min(m,n). Esempio. Determinare il rango dei seguenti casi di vettori: 1) r=1 2) r=2 3) r=2 4) r=3 MATRICI In generale, si chiama matrice “n x m” una tabella di “n x m” numeri disposti in “n” righe e in “m” colonne: a11 a12 …….. a1m a21 a22 …….. a2m . . . an1 an2 …….. anm Se “n=m“ si dice che la matrice è quadrata di ordine “n“; in questo caso gli elementi “a11, a22,…., anm“ costituiscono la diagonale principale, mentre gli elementi “a1m, a2,(m-1),…….., an1“ costituiscono la diagonale secondaria. Se una matrice quadrata “A” coincide con la propria trasporta “A + ” si dice che è simmetrica. Se “n≠m” la matrice data si dice che è rettangolare “n x m”. DETERMINANTI Ad ogni matrice quadrata “A” si associa un numero reale che lo indichiamo con “det A”, che prende il nome di determinante della matrice “A”. Se “A=(a11)” è quadrata di ordine 1, il determinante coincide con l’unico numero presente nella matrice: “det A=a11“. Se, invece, “A” è quadrata di ordine 2, il determinante è: “det A=a11a22-a12a21“. Se, invece, “A” è quadrata di ordine 3, il determinante è: a22 a23 a21 a23 a21 a22 “det A=a11 a32-a33 -a12 a31 a33 +a13 a31 a32 “ “det A=a11 A11-a12 A12+a13 A13=a11 A11-a12 A’12+a13 A’13“ oppure “det A=a11a22a33-a11a23a32-a12a21a33+a13a21a32-a13a22a31“. I “+” e i “-“ si alternano in base alla somma degli indici: - se è pari prendo l’elemento col proprio segno; - se è dispari prendo l’elemento col segno opposto. Si chiama complemento algebrico “A’ik“ dell’elemento “aik“ il determinante “Aik“, preso col suo segno se “i+k” è pari e cambiato di segno se “i+k” è dispari.